Jednokładność

Czytaj również o:
Twierdzeniu Talesa.

Jednokładność prosta

Jednokładność również polega na pomniejszaniu i powiększaniu figur. Dodatkowo w jednokładności określa się jej środek oraz skalę.

Figura B jest powiększeniem figury A w jednokładności o środku O i skali większej od 1.

Jeśli skala jest mniejsza od 1, ale większa od 0 to znaczy, że otrzymana figura będzie pomniejszona.

Figura B jest pomniejszeniem figury A w jednokładności o środku O i skali mniejszej od 1 i większej od 0.

Skala jednokładności jest to stosunek wielkości przekształconej figury do figury wyjściowej. To znaczy, że jednokładność o skali 2 przekształci każdy odcinek na 2 razy dłuższy.

Analogicznie jednokładność o skali przekształci każdy odcinek na o krótszy.

Wynika to z Twierdzenia Talesa.
Przekształcając odcinek w jednokładności o środku O i skali 2 otrzymamy tak na prawdę kąt o środku O przecięty tymi odcinkami.

Zaznaczyłem długości odcinków:
|OA|=1
|AA'|=1
więc |OA'|=2
Według Twierdzenia Talesa stosunki odpowiadających boków są równe więc:

Podstawiając znane długości otrzymam:

Wynika z tego, że odcinek A'B' jest 2 razy dłuższy od odcinka AB.

Przy przekształceniu w jednokładności o skali k, wszystkie boki danej figury ulegają zmianie (powiększeniu lub pomniejszeniu). Zmiana ta dotyczy długości.
Długość nowego odcinka = skala k * długość odcinka wyjściowego.

Przekształcanie przez jednokładność prosta zachowuje proporcję i kierunek figury.

Każdy odcinek przekształcony przez jednokładność prostą jest proporcjonalnie dłuższy lub krótszy (w zależności od skali) do odcinka pierwotnego.

Każdy odcinek przekształcony przez jednokładność prostą jest równoległy do odcinka pierwotnego.

Przekształcenie odcinka w jednokładności o środku O i skali 3 oznacza, że chcemy otrzymać odcinek 3 razy dłuższy.
Podobnie rozwiązujemy zadanie, gdzie mamy narysować odcinek 3 razy dłuższy od danego. Wtedy dodatkowo obieramy sobie środek jednokładności O w dowolnym miejscu.

Jest odcinek AB. Odległość punktu A od środka O przyjmujemy, że jest 1. Odmierzamy tę odległość cyrklem i zaznaczamy.
Ponieważ nasze przekształcenie jest o skali 3 odmierzamy tę odległość od środka O trzy razy po tej samej stronie co nasza figura.
Podobnie postępujemy z odległością OB. Zaznaczamy ją 3 razy i łączymy końcowe punkty. Powstaje odcinek A'B', który jest przekształceniem odcinka AB w jednokładności o środku O i skali 3.

Podobieństwo figur zachowuje ich kształt, a jednokładność kształt oraz kierunek.

---

Jednokładność odwrotna

Jest to jednokładność o skali mniejszej od 0. W uproszczeniu po tym przekształceniu otrzymujemy figurę pomniejszoną lub powiększoną i dodatkowo odwróconą "do góry nogami".
Ogólna zasada działania pozostaje ta sama.
Przekształcenie odcinka w jednokładności o środku O i skali -3 :

Podobnie jak przy jednokładności prostej odmierzamy odległość środka O od punktu A. Tę odległość zaznaczamy 3 razy (skala -3) od środka O, ale po drugiej stronie środka O niż figura. Powstaje punkt A'.
Postępujemy tak samo z punktem B. Powstaje punkt B'. Łączymy punkty A' i B' i otrzymujemy odcinek, który jest przekształceniem odcinka AB w jednokładności o środku O i skali -3.

Zauważ, że odcinak A'B' jest równoległy do odcinka AB, ale jest odwrócony o 180°. Łatwiej to zaobserwować na całej figurze.

Figura B jest przekształceniem figury A w jednokładności o środku O i skali -3.

Przekształcanie przez jednokładność odwrotną zachowuje proporcję, a kierunek figury odwraca o 180°.

Każdy odcinek przekształcony przez jednokładność odwrotną jest proporcjonalnie dłuższy lub krótszy (w zależności od skali) do odcinka pierwotnego.

Każdy odcinek przekształcony przez jednokładność odwrotną jest równoległy do odcinka pierwotnego.