Podział odcinka na części. Twierdzenie Talesa

Podział odcinka na równe części.

Dzielimy odcinek AB na 3 równe części. Potrzebne narzędzia: cyrkiel, linijka ekierka.

1. Zaczynamy od narysowania półprostej k zaczynającej się w jednym z końców odcinka AB.


2. Teraz cyrkiel rozstawiamy na mniej więcej 1/3 (bo dzielimy na 3) długości odcinka AB (na oko). Stawiamy nóżkę cyrkla na złączeniu odcinka AB i półprostej k (tutaj punkt A) i zaznaczamy odległość na półprostej k. Tak powstaje punkt M.


3. Dalej, nie zmieniając rozstawu cyrkla, stawiamy nóżkę w punkcie M i odmierzamy ponownie odległość na półprostej k. Powstaje punk N. Całość powtarzamy tyle razy, na ile części musimy podzielić odcinek. Nasz dzielimy na 3 części. Dwie już mamy odmierzone, więc zaznaczamy jeszcze jedną stawiając nóżkę cyrkla w punkcie N. Powstaje punkt L.


4. Rysujemy prostą przechodzącą przez ostatni zaznaczony punkt i drugi koniec odcinka (tutaj punkty L i B).


5. Pozostałe proste rysujemy równoległe do tej pierwszej tak, aby przechodziły przez wyznaczone wcześniej punkty (tutaj N i M)



Proste równoległe najłatwiej narysować za pomocą linijki i ekierki.
Pierwszą prostą rysujemy za pomocą ekierki ustawiając ją jak poniżej:

Przytrzymując linijkę przesuwamy ekierkę tak, aby można było narysować linię przechodzącą przez kolejny punkt:

I tak do narysowania wszystkich prostych:



6. Narysowane proste przecinają odcinek AB i dzielą go na 3 równe części. W podobny sposób można podzielić odcinek na dowolną liczbę równych części.

---

Podział odcinka w danym stosunku.

Naszym zadaniem jest podzielić odcinek w stosunku 2 do 3. Potrzebne narzędzia: cyrkiel, linijka ekierka.

1. Dzieląc odcinek w danym stosunku, wykorzystujemy dzielenie odcinka na równe części. Najpierw wyznaczamy na ile równych części podzielić odcinek. Jeśli dzielimy w stosunku 2 do 3 to obliczamy 2+3 i tyle podziałów należy wykonać. W naszym przypadku dzielimy na 5 równych części.


2. Teraz odliczamy od jednej ze stron tyle części, ile jest jedna z liczb stosunku. Odliczam 2 części i zaznaczam. Powinno mi pozostać tyle części ile wynosi druga liczba stosunku. U nas 3, więć sprawdzam.


3. W ten sposób mamy po jednej stronie 2 części, a po drugiej 3. Odcinek został podzielony w stosunku 2 do 3.

---

Twierdzenie Talesa.

Kąt o wierzchołku O przecinamy dwiema równoległymi prostymi. Miejsca przecięcia oznaczamy literami A, B, C i D.

Odcinki powstałe na obu ramionach kąta są proporcjonalne. To znaczy, że jeśli odcinek OB jest dłuższy (krótszy) od odcinka OA, to odcinek BD będzie dłuższy (krótszy) od odcinka AC w takiej samej proporcji.
Jeśli podzielimy to otrzymamy ten sam stosunek co . Tak jest ponieważ odcinki na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odcinków na drugim ramieniu.

Twierdzenie Talesa: Jeśli ramiona kąta są przecięte prostymi równoległymi (k, l), to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta (a, b) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta (c, d).

Używając proporcji twierdzenie Talesa możemy dowolnie modyfikować dla potrzeb konkretnego zadania.
Prawdziwe są również takie zależności:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: Jeśli ramiona kąta są przecięte dwiema prostymi (k, l) i odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta (a, b) są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta (c, d) to te proste są równoległe.

jeśli to